线性回归模型（linear regression）

1.模型定义

给定数据集，$T={(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),...,(x^{(m)},y^{(m)})}$，其中$x^{(i)}=(1, x_1, x_2, ..., x_n)^T\in X= R^{n+1}$，$y^{(i)}\in Y=R$，线性回归模型试图学到一个通过属性的线性组合来进行预测的函数，即

$$ f(x)=w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n+b $$

一般用向量写成：

$$ f(x)=w^T\cdot x+b $$

其中$w=(w_1, x_2, ..., w_n)^T\in R^{n}$，$b\in R$，使得$f(x)\simeq y$。

如何确定$w$和$b$呢，显然关键在于如何衡量$f(x)$与$y$之间的差别。均方误差是最常用的性能度量，因此我们可以试图让均方误差最小化，即：

$$ \min_{w,b} L(w,b)=\displaystyle\sum_{i=1}^m(f(x^{(i)})-y^{(i)})^2 $$

$$ =\displaystyle\sum_{i=1}^m(w^T\cdot x^{(i)}+b-y^{(i)})^2 $$

均方误差有非常好的几何意义，它对应了常用的欧几里得距离或简称“欧氏距离”（Euclidean distance）。基于均方误差最小化来进行模型求解的方法称为“最小二乘法”（least square method）。在线性回归中，最小二乘法是试图找到一条直线，使得所有样本到直线上的欧氏距离之和最小。

求解$w$和$b$，使$ L(w,b)=\displaystyle\sum_{i=1}^m(f(x^{(i)})-y^{(i)})^2$最小化的过程，称为线性回归模型的最小二乘“参数估计”（parameter estimation）。令$w_0=b$，$x_0=1$，则$w=(w_0,w_1, w_2, ..., w_n)^T$，$x=(x_0, x_1, x_2, ..., x_n)^T$，原式转换为：

$$ f(x)=w^T\cdot x $$

$$ \min_{w} L(w)=\displaystyle\sum_{i=1}^m(w^T\cdot x^{(i)}-y^{(i)})^2 $$

对其求导，可得：

$$ \dfrac{\partial L(w,b)}{\partial w_j}=\dfrac{\partial \displaystyle\sum_{i=1}^m(w^T\cdot x^{(i)}-y^{(i)})^2}{\partial w_j} $$

$$ =\displaystyle\sum_{i=1}^m2(w^T\cdot x^{(i)}-y^{(i)})x^{(i)}_j $$

得到梯度向量：

$$ \nabla L(w)= \displaystyle\sum_{i=1}^m(w^T\cdot x^{(i)}-y^{(i)})x^{(i)} $$

假定：

$$X= \begin{bmatrix} (x^{(1)})^T \ (x^{(2)})^T \ (x^{(3)})^T \ ... \ ( x^{(m)} )^T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & x^{(1)}_1 & x^{(1)}_2 & ... & x^{(1)}_n \ 1 & x^{(2)}_1 & x^{(2)}_2 & ... & x^{(2)}_n \ 1 & x^{(3)}_1 & x^{(3)}_2 & ... & x^{(3)}_n \ ... \ 1 & x^{(m)}_1 & x^{(m)}_2 & ... & x^{(m)}_n \end{bmatrix}$$，$$Y=\begin{bmatrix} y^{(1)} \ y^{(2)} \ y^{(3)} \ ... \ y^{(m)} \end{bmatrix}$$，$$w=\begin{bmatrix} w_0 \ w_1 \ w_2 \ ... \ w_n \end{bmatrix}$$

则：

$$ X\cdot w= \begin{bmatrix} 1 & x^{(1)}_1 & x^{(1)}_2 & ... & x^{(1)}_n \ 1 & x^{(2)}_1 & x^{(2)}_2 & ... & x^{(2)}_n \ 1 & x^{(3)}_1 & x^{(3)}_2 & ... & x^{(3)}_n \ ... \ 1 & x^{(m)}_1 & x^{(m)}_2 & ... & x^{(m)}_n \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} w_0 \ w_1 \ w_2 \ ... \ w_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (x^{(1)})^T\cdot w \ (x^{(2)})^T\cdot w \ (x^{(3)})^T\cdot w \ ... \ (x^{(m)})^T\cdot w \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} w^T \cdot x^{(1)} \ w^T \cdot x^{(2)} \ w^T \cdot x^{(3)} \ ... \ w^T \cdot x^{(m)} \end{bmatrix} $$

$$ X\cdot w-Y =\begin{bmatrix} w^T \cdot x^{(1)}-y^{(1)} \ w^T \cdot x^{(2)}-y^{(2)} \ w^T \cdot x^{(3)}-y^{(3)} \ ... \ w^T \cdot x^{(m)}-y^{(m)} \end{bmatrix} $$

$$ X^T\cdot (X\cdot w-Y )=\begin{bmatrix} x^{(1)} & x^{(2)} & x^{(3)} & ... & x^{(m)} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} w^T \cdot x^{(1)}-y^{(1)} \ w^T \cdot x^{(2)}-y^{(2)} \ w^T \cdot x^{(3)}-y^{(3)} \ ... \ w^T \cdot x^{(m)}-y^{(m)} \end{bmatrix} $$

于是得到：

$$ \nabla L(w)=2 X^T\cdot (X\cdot w-Y ) $$

令一方面$L(w)$也可以表示成：

$$ L(w)=(X\cdot w-Y)^T\cdot (X\cdot w-Y)=(w^T X^TX w -2w^TX^TY+Y^T Y) $$

对$w$求导，同样可以得到梯度。

欲求的最优解，令梯度为0，

$$ \nabla L(w)=2 X^T\cdot X\cdot w-2 X^T\cdot Y =0 $$

则得到：

$$ w=(X^T\cdot X)^{-1}\cdot X^T\cdot Y $$

于是最终得到线性模型：

$$ f(x)=w^T\cdot x=x^T\cdot (X^T\cdot X)^{-1}\cdot X^T\cdot Y $$

令$X^\dagger =(X^T\cdot X)^{-1}\cdot X^T$，称为伪逆(seudo-inverse)，代入得到。

$$ f(x) = x^T\cdot X^\dagger\cdot Y $$

2.学习算法

2.1 Normal Equations

计算$w=(X^T\cdot X)^{-1}\cdot X^T\cdot Y$，直接得到模型$f(x)=w^T\cdot x$

但是计算矩阵的逆是非常费时的事情，$X^T_{n\times m}\cdot X_{m\times n}=Z_{n\times n}$，因此当特征数量比较多时，偏向于用梯度下降法。

2.2 批量梯度下降（Batch Gradient Descent）

输入：训练数据集$T={(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),...,(x^{(m)},y^{(m)})}$，其中$x^{(i)}\in X= R^n$，$y^{(i)}\in Y=R^n$，$i=1,2,...,m$，学习率$\eta(0<\eta\leqslant1)$；

输出：$w=(w_1, w_2, ..., w_n)^T$和$b$，模型$f(x)=w^T\cdot x+b$

1）将输入的每个$x^{(i)}$转换成$x^{(i)}=(1, x_1, x_2,...x_n)$，令$w_0=b$，则输出为$w=(w_0, w_1, w_2, ..., w_n)^T$

2）选取初始$w^{(0)}=(w_0, w_1, w_2, ..., w_n)^T$

3）计算梯度$X^T\cdot (X\cdot w^{(j)}-Y )$，这里略去系数2，其中$w^{(j)}$为第$j$次迭代的结果，则第$j+1$迭代：

$$ w^{(j+1)} \gets w^{(j)} - \eta X^T\cdot (X\cdot w^{(j)}-Y ) $$

4）转到步骤（3），一直到满足一定条件，或者迭代到足够的次数。

在批量梯度下降算法中，每一步的迭代都需要计算所有样本，当样本数较大时，计算量会很大。

2.3 随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）

将上面的步骤（3）改为：

3） 随机选取某个样本$x^{(i)}$，则：

$$ w^{(j+1)} \gets w^{(j)} - \eta ((w^{(j)})^T\cdot x^{(i)}-y^{(i)})x^{(i)} $$

一直到迭代到足够的次数。